Presión y altura para montañeros

El modelo siguiente es estudiado, mejor o peor, por todos los estudiantes de secundaria. He aquí otra forma de llegar a los mismos resultados.

P=Presión
F=Fuerza gravitatoria
S=Superficie, Area
h=Altura con respecto al nivel del mar
g=Aceleración gravitatoria
m=Masa total
m´=Masa de una partícula
n=Número de partículas por unidad de volumen
n`=Moles por unidad de volumen
nº=Número de partículas al nivel del mar
V=Volumen
R=Constante universal de los gases
T=Temperatura


Aplicando la tercera Ley de Newton, una masa de aire que asciende tendrá una fuerza de misma intensidad y dirección pero de sentidos opuestos a la fuerza que la produjo.

[1]-F=F`


P=F`/S
Despejando F
F`=SP
Aplicando [1]
-F=SP

Sustituyendo F=mg
-mg=SP
Multiplicando por la altura h
-mgh=SPh
Sustituyendo Sh por el volumen
-mgh=PV

Diferenciando con respecto a h
-mgdh=dPV+dVP

Adoptando un volumen constante dV=0
-mgdh=dPV

Dividiendo términos entre dh
dP/dh=-mg/V
Sustituyendo m/V=nm´

[2] dP/dh=-nm`g


Aplicando la ecuación de estado de los gases ideales

PV=nRT
P=nRT/V

Llamando n/V=n`
P=n´RT
Diferenciando con respecto a P y n
dP=dn´RT

Dividiendo entre dh
dn/dh=(dP/RT):dh= dP/RTdh

Sustituyendo dP/dh por el valor hallado [2]
dn/dh=-nm`g/RT

Reordenando términos como si fueran tasas

[3] dn/n=-mgdh/RT


Integrando ambas expresiones teniendo en cuenta que
ln(n/nº)=ln(n)-ln(nº)
∫(1/x)dx=ln x

∫dn/n=-∫mgdh/RT
∫dn/n=-1/RT∫mg dh

La primera integral se hará entre el nivel del mar nº y n, la segunda entre la altura 0 y h.

ln(n/nº)=-mgh/RT

Logramos al final una solución a un logaritmo neperiano en base e.

       (-mgh/RT)
n=nº e